Properties of random coverings of graphs

Wydział Matematyki i InformatykiPrzedmiotem rozprawy doktorskiej są asymptotyczne własności losowych nakryć grafów zdefiniowanych przez Amita i Liniala w 2002 roku, jako nowy model grafu losowego. Dla zadanego grafu bazowego G losowe nakrycie stopnia n, oznaczane jako Ḡ, otrzymujemy poprzez zastąpienie każdego wierzchołka v przez n-elementowy zbiór Ḡ_v oraz wybór, dla każdej krawędzi e={x,y} \in E(G), z jednostajnym prawdopodobieństwem, losowego skojarzenia pomiędzy zbiorami Ḡ_x i Ḡ_y. Pierwszym zagadnieniem poruszanym w pracy jest oszacowanie wielkości największej topologicznej kliki zawartej (jako podgraf) w losowym nakryciu danego grafu G. Udało się pokazać, że asymptotycznie prawie na pewno losowe nakrycie grafu G zawiera największą z możliwych topologiczną klikę. Drugim badanym zagadnieniem jest pytanie o istnienie w podniesieniu grafu cyklu Hamiltona. W pracy pokazujemy, że jeżeli graf G zawiera dwa krawędziowo rozłączne cykle Hamiltona, których suma nie jest grafem dwudzielnym i ma minimalny stopień co najmniej 5, to asymptotycznie prawie na pewno nakrycie Ḡ jest grafem hamiltonowskim.In the thesis we study selected properties of random coverings of graphs introduced by Amit and Linial in 2002. A random n-covering of a graph G, denoted by Ḡ, is obtained by replacing each vertex v of G by an n-element set Ḡ_v and then choosing, independently for every edge e = {x,y}\in E(G), uniformly at random a perfect matching between Ḡ_x and Ḡ_y. The first problem we consider is the typical size of the largest topological clique in random covering of given graph G. We show that asymptotically almost surely a random n-covering of a graph G contains the largest possible topological clique. The second property we examine is the existence of a Hamilton cycle in Ḡ. We show that if G contains two edge disjoint Hamilton cycles, which sum is not a bipartite graph and has minimum degree at least 5, then asymptotically almost surely Ḡ is Hamiltonian

Wójta Józefa Putka droga do interdyktu. Konflikt między władzami gminnymi a proboszczem w Choczni w świetle dokumentów kościelnych

Józef Putek (1892–1974), Juris Doctor, was distinguished people’s radical, peasant activist and member of parliment. He began his political career in his native village Chocznia, where, since 1919, he held the office of the Vogt. His uncompromising anticlericalism, fierce criticism of the Church and its position in the nation, brought about the conflict with the parson of Chocznia, Józef Dunajecki. Putek accused the parson of mismanagement and lawlessness in having at one’s disposal church wealth.A critical moment in the conflict between the Vogt and parson Dunajecki was the matter of the foundation of bells. The purchase was financed by parishioners and emigrants from Chocznia, who lived in Detroit and Chicago. Józef Putek objected to hanging bells on the church tower. Incursion to the church and stamping one of the bells was a direct cause of interdict. Another reason for the interdict by archbishop Adam Stefan Sapieha was the effect of anticlerical political and publicistic activity of the Vogt. Some examples include, publishing in Chocznia a radical newspaper „Sztandar Chłopski”.In 1929 Dr. Jur. Putek was canceled from the post of the Vogt and soon after that, in 1930, was imprisoned by the Sanation government in the fortress of Brześć.Dr Józef Putek, radykał chłopski, wybitny działacz ludowy i poseł na Sejm, zaczynał swoją karierę polityczną w rodzinnej wsi Choczni, a w 1919 roku został wybrany na jej wójta. Jego bezkompromisowy antyklerykalizm szybko doprowadził do konfliktu z ks. Józefem Dunajeckim, długoletnim proboszczem parafii w Choczni. Spór między władzami gminnymi a choczeńskim probostwem szybko zaczął dzielić wieś na zwolenników dr. Putka, w znakomitej większości działaczy ruchu ludowego, i ks. Dunajeckiego. Wójt zarzucał proboszczowi niegospodarność, samowolę w dysponowaniu majątkiem kościelnym i brak dbałości o plebańskie budynki. Opierając się na własnej interpretacji ustaw o konkurencji kościelnej, dr Putek samodzielnie przystąpił do renowacji kościoła i wyprzedaży części jego majątku, co budziło sprzeciw parafian.Nowy etap konfliktu zaczął się w 1926 roku, gdy naczelnik gminy stanął na czele Komitetu parafialnego. Punktem krytycznym w sporze między władzami gminnymi i Komitetem a proboszczem Dunajeckim była sprawa fundacji dzwonów, zakupionych po części ze składek parafian w Choczni, a po części z funduszy zebranych przez chocznian z Detroit i Chicago. Dr Putek sprzeciwił się zawieszeniu dzwonów na wieży kościelnej, powołując się na zagrożony interes Komitetu parafialnego i samowolę księdza proboszcza. Wtargnięcie do kościoła przedstawicieli władz gminnych, z wójtem na czele i opieczętowanie dzwonu było bezpośrednim powodem rzucenia na dr. Putka kary interdyktu osobistego przez abp. Adama S. Sapiehę. Pośrednimi zaś powodami była antyklerykalna działalność wójta, tak polityczna, jak i publicystyczna, m.in. na łamach wydawanej w Choczni gazety „Sztandar Chłopski”.W 1929 roku dr Putek został odwołany z funkcji naczelnika gminy, a niedługo później uwięziony przez władze sanacyjne w Brześciu. W kwietniu 1939 roku Metropolita krakowski zniósł ciążącą na nim karę interdyktu

Method, System, and Computer program product for transaction authentication

Methods, systems, and computer program products for transaction authentication may use a mobile phone number as a consumer identifier to trigger transaction authentication inside a trusted mobile application. A consumer may select a payment device associated with the application at an e-commerce website, enter the mobile phone number, and in response thereto, receive a notification on a mobile phone associated with the application. The consumer reviews the transaction details and approves the transaction via the application using biometrics and/or a personal identification number (PIN)

Distributed Approximations of f-Matchings and b-Matchings in Graphs of Sub-Logarithmic Expansion

We give a distributed algorithm which given ? > 0 finds a (1-?)-factor approximation of a maximum f-matching in graphs G = (V,E) of sub-logarithmic expansion. Using a similar approach we also give a distributed approximation of a maximum b-matching in the same class of graphs provided the function b: V ? ?^+ is L-Lipschitz for some constant L. Both algorithms run in O(log^* n) rounds in the LOCAL model, which is optimal

Distributed Approximation Algorithms for the Minimum Dominating Set in K_h-Minor-Free Graphs

In this paper we will give two distributed approximation algorithms (in the Local model) for the minimum dominating set problem. First we will give a distributed algorithm which finds a dominating set D of size O(gamma(G)) in a graph G which has no topological copy of K_h. The algorithm runs L_h rounds where L_h is a constant which depends on h only. This procedure can be used to obtain a distributed algorithm which given epsilon>0 finds in a graph G with no K_h-minor a dominating set D of size at most (1+epsilon)gamma(G). The second algorithm runs in O(log^*{|V(G)|}) rounds

On Cops and Robbers on GΞG^{\Xi} and cop-edge critical graphs

Cop Robber game is a two player game played on an undirected graph. In this game cops try to capture a robber moving on the vertices of the graph. The cop number of a graph is the least number of cops needed to guarantee that the robber will be caught. In this paper we presents results concerning games on $G^{\Xi}$, that is the graph obtained by connecting the corresponding vertices in $G$ and its complement $\overline{G}$. In particular we show that for planar graphs $c(G^{\Xi})\leq 3$. Furthermore we investigate the cop-edge critical graphs, i.e. graphs that for any edge $e$ in $G$ we have either $c(G-e)c(G)$. We show couple examples of cop-edge critical graphs having cop number equal to $3$